Introducción

En este artículo se muestran dos series históricas de temperatura media global en superficie, y una serie local larga, prehistórica, con las temperaturas registradas en la estación antártica de Vostok. Estas son series climáticas de referencia que pueden ayudarnos a entender la evolución del clima en la tierra durante el último medio millón de años, lo cual puede servirnos de gran ayuda para entender la evolución futura que anticipan las proyecciones climáticas (ver referencia 7). Las distintas fuentes de datos, a partir de las cuales se han realizado los gráficos, se relacionan al final del artículo, en el apartado de referencias.

Serie instrumental, 1850-2025

Una serie instrumental de temperaturas es aquella que se ha obtenido mediante registros directos de la temperatura del aire a partir de termómetros. La serie que se muestra a continuación se ha obtenido a partir de datos elaborados por el Met Office Hadley Centre. Muestra la evolución de la temperatura media global en superficie en términos de anomalías respecto a las temperaturas del periodo de referencia pre-industrial, 1850-1900. Puede consultarse el fichero .csv fuente de los datos en el siguiente enlace: Summary_Series: Global: Annual.

Aunque con altibajos, se aprecia en el gráfico una tendencia general al aumento de las temperaturas, al principio más lento y después más rápido, con dos ‘acelerones’ (aumento de la pendiente de la curva), uno a partir de 1910 y otro a partir de 1965, más o menos. Además, vemos como el rango (diferencia entre el valor máximo y mínimo durante el periodo) de anomalías de la serie es casi de 1.8 ºC de temperatura, un valor que, como comprobaremos más adelante, es bastante superior al que podría explicar la variabilidad natural del clima en una escala temporal tan corta. Señalar también que los periodos [1850-1910] y [1940-1980] no registran una tendencia definida. Es probable que durante estos periodos la variabilidad natural del clima (asociada a procesos de interacción océano-atmósfera, variaciones en la actividad solar, erupciones volcánicas, etc… ) haya contrarrestado la variabilidad asociada al forzamiento antropogénico (emisiones de gases de efecto invernadero). A partir de 1965, más o menos, parece que la variabilidad natural no es capaz de contrarrestar las tendencias positivas, salvo de forma puntual, asociadas a dichas emisiones.

El valor máximo de la serie se alcanzó en el año 2024, con un valor de la anomalía térmica global anual de \(\small 1.52^\circ C\). Fue el primer año en que se superó uno de los límites-objetivo (\(\small 1.5^\circ C\)) acordado en la reunión de Naciones Unidas, Paris 2015. Con muy alta probabilidad, refs 7 y 10, se espera que en las decadas venideras la superación de este umbral suceda con más frecuencia y pase de ser un hecho puntual a ser lo habitual. Además, la probabilidad de contener la anomalía térmica por debajo de \(\small 2^\circ C\) (límite alternativo de la reunión de París) en las siguientes decadas no parece muy alta. Dependerá en buena medida del escenario de emisiones en que la comunidad internacional decida acomodarse y de otras acciones de mitigación del calentamiento global, ref 12, que pudieran emprenderse. La referencia 11 es un buen punto de partida para documentarse sobre los probables impactos de la superación de los umbrales de \(\small 1.5\) y \(\small 2^\circ C\) acordados en París en los distintos ecosistemas terrestres.

Serie de los últimos 2000 años, 200-2025

Si nos movemos más hacia el pasado, más allá de los registros instrumentales, los datos de temperatura que podemos recoger son indirectos. En climatología a este tipo de datos indirectos se les llama datos proxy o indicadores paleoclimáticos. Estos indicadores sirven para reconstruir las condiciones climáticas de momentos pasados de la historia de la tierra. Ejemplos conocidos son los anillos de los árboles, los testigos de hielo (perforaciones profundas en capas de hielo en glaciares o continentes helados), sedimentos marinos, polen, etc. La fiabilidad de estos datos se estima a partir de calibraciones frente a registros instrumentales. En el siguiente gráfico se muestran dos series superpuestas:

• desde el año 200 hasta 1849: serie global de temprtaturas reconstruida a partir de datos multi-proxy obtenidos en distintas regiones del planeta. Publicada en Mann, M.E. and P.D. Jones, 2003. Ver referencia 2
• desde el año 1850 hasta 2025: la serie instrumental del Hadley Center (ver figura 1)

En la figura 2 se aprecia como las temperaturas globales de los dos últimos milenios han permanecido la mayor parte del periodo por debajo de la media de 1961-1990 (periodo a su vez relativamente frío respecto al tramo temporal siguiente, 1991-2020). Además, la variabilidad de dichas temperaturas antes de la era industrial es bastante menor que la observada después de dicho periodo, quedando acotada en unos ± 0.2ºC en torno a un estado de equilibrio bastante por debajo de las temperaturas actuales. Esto es lo que los forzamientos naturales del clima importantes en esta escala temporal (ciclos solares, actividad volcánica, variabilidad asociada a la interacción océano-atmósfera, etc.) han podido modificar la variable temperatura media global del planeta en buena parte de los dos últimos milenios, hasta la llegada de la era industrial. A partir del inicio del siglo XX el comportamiento oscilante en torno a un estado de equilibrio se rompe, dando paso a una tendencia clara al aumento (calentamiento global). El consenso y literatura científicas en cuanto a que la causa de este calentamiento es la emisión de gases de efecto invernadero (dióxido de casrbono, metano, etc…) son amplios y hay poca discusión posible a día de hoy. Es altamente probable, además, de acuerdo con las proyecciones climáticas más recientes (ver referencia 7), que dicho calentamiento global esté dando paso a un nuevo estado de equilibrio del clima (cambio climático), en torno a una temperatura superior, que se alcanzaría tanto más pronto cuanto antes se limitaran de manera efectiva las emisiones de gases de efecto invernadero. Esta limitación en las emisiones tiene poca pinta de ocurrir, a pesar de los esfuerzos del Panel Intergubernamental para el Cambio Climático, IPCC , para asesorar a los políticos. Lo esperable, por tanto, a corto plazo (decenios) es que la tendencia al aumento de las temperaturas no solo se mantenga, sino que se acelere, como ha ocurrido en los dos últimos decenios (incrementos en la temperatura global de unos 0.35ºC/decenio). Este ritmo de aumento no tiene precedentes en la historia climática reciente del planeta.

Serie de Vostok, últimos 420.000 años

Para tener una referencia temporal, la edad de esta serie (figura 3) es unos 100 milenios mayor que la del Homo Sapiens. Los datos se obtuvieron a partir del testigo de hielo del lago Vostok, próximo a la base Antártica de Vostok, y es, a diferencia de las dos series anteriores de temperaturas globales, una serie de temperaturas locales. La serie se ha elaborado a partir de registros de concentraciones de diferentes gases atrapados en el hielo desde hace unos 420 milenios (ver referencia 5). Comparando las dos series mostradas en la figura 3 se aprecia la fuerte correlación entre la temperatura y la concentración de CO₂ durante casi todo el periodo, exceptuando algún intervalo temporal (por ejemplo, el periodo entre el sexto y segundo milenio pasados: es compatible un periodo de descenso local de la temperatura con un ascenso de la temperatura global y por tanto del CO₂). La alternancia de mínimos y máximos se corresponde con la de periodos glaciales e interglaciales, cuya aparición responde fundamentalmente a factores astronómicos, aunque no solo, siendo el periodo principal de la serie (lapso temporal entre dos máximos interglaciales) de unos 100.000 años. Este valor está en buen acuerdo con el ciclo teórico de Milanlovich asociado a la excentricidad de la órbita terrestre (ver referencia 6). Aunque más difíciles de apreciar sin un análisis espectral, están presentes en el gráfico periodicidades de menor escala (ver referencia 5), correspondientes a los ciclos orbitales de oblicuidad (~ 41.000 años) y precesión (23.000 años).

En el gráfico inferior de la figura 3 se constata que durante todo el periodo los niveles promedio de CO₂ están claramente por debajo del promedio del último siglo (320 ppm), no superándose en ningún momento la concentración media de 300 ppm. Para esta serie, la máxima amplitud de los cambios de temperatura media centenal se da en las transiciones desde un periodo glacial al siguiente inter-glacial, y es de unos 11 ºC, con rango [-8,3] ºC respecto a la temperatura media del último siglo en la estación de Vostok (-54.35ºC), según su registro instrumental (ver referencia 5) combinado con datos del testigo de hielo. Hay que tener en cuenta que Vostok es una estación con elevadas continentalidad y latitud, factores que llevan al extremo la variabilidad térmica. El rango de variabilidad comentado, asociado al forzamiento orbital o astronómico del clima (eficiente a escalas de miles de años), es muy superior al rango de anomalías globales (figura 2) derivadas del forzamiento natural del clima (asociado a cambios en la actividad solar y volcánica, procesos de interacción océano atmósfera, etc.), a escalas temporales menores. No obstante, la comparación, aunque tentadora, no es justa, pues la serie de Vostok es una serie de temperaturas locales y la de Mann es una serie de temperaturas medias globales. Además, las variaciones de gran amplitud en la serie de Vostok ocurren en escalas temporales de milenios, mientras que en la serie de la figura 2, en su parte final, se aprecian variaciones importantes en una escala temporal de decenios. Las pendientes máximas de la curva de temperaturas de Vostok son del orden de unos 11 ºC en 10 milenios (ritmo promedio de ~0.1 ºC cada 100 años). Este ritmo de cambio es muy inferior al de la temperatura global promedio del último siglo (~0.4ºC, ver serie), aún a pesar de los factores de extremas continentalidad y latitud de la estación de Vostok.

Destacar finalmente la corta duración (unos pocos milenios) de los periodos cálidos o interglaciales, excepto, curiosamente, el periodo interglacial presente, el Holoceno, que lleva manteniéndose durante unos 11 milenios. Este hecho merece explicación a parte. ¿Qué es diferente en el Holoceno respecto a los periodos interglaciares anteriores?. La respuesta está en el forzamiento orbital, claramente menor durante el Holoceno. Esto ha hecho que la tendencia descendente tras el máximo alcanzado hace unos 6 milenios haya sido mucho más lenta.

Referencias

[1] Met Office Hadley Centre observations datasets. Met Office Hadley Centre

[2] Mann, M.E. and P.D. Jones, 2003,2000 Year Hemispheric Multi-proxy Temperature Reconstructions, IGBP PAGES/World Data Center for Paleoclimatology. NOAA/NGDC Paleoclimatology Program, Boulder CO, USA. Enlace al artículo

[3] J.R. Petit, D. Raynaud, C. Lorius, J. Jouzel and G. Delaygue, N.I. Barkov, V.M. Kotlyakov. Historical Isotopic Temperature Record from the Vostok Ice Core. Enlace a artículo y datos

[4] J.-M. Barnola, D. Raynaud, C. Lorius, N.I. Barkov. Historical Carbon Dioxide Record from the Vostok Ice Core. Enlace a artículo y datos

[5] J.R. Petit, D. Raynaud, C. Lorius, J. Jouzel, y otros. Climate and atmospheric history of the past 420,000 years from the Vostok ice core, Antarctica. Enlace al artículo

[6] Variaciones orbitales y ciclos de Milankovitch. Enlace al artículo

[7] E. Rodríguez Camino, J.A. Parodi, F. González Rouco, M. Montoya Redondo. Proyecciones climáticas. Física del caos en la predicción meteorológica. Capítulo 29. Enlace al artículo

[8] Serie instrumental de temperaturas en la estación antártica de Vostok

[9] Acuerdo de Naciones Unidas, Paris 2015

[10] Panel Intergubernamental para el Cambio Climático, IPCC

[11] Copernicus, Climate Change: Why do we keep talking about 1.5°C and 2°C above the pre-industrial era?

[12] Mitigación del calentamiento global, wikipedia

Introducción

En este artículo se describen algunos métodos o técnicas de geolocalización sin apoyo del GPS. En realidad, de una u otra forma este tipo de técnicas se llevan aplicando desde hace mucho tiempo, principalmente en el contexto de la navegación por mar, utilizando instrumentos como el sextante, la brújula y el reloj, combinados con la tablas de los almanaques naúticos. Herramientas todas habituales, incluso hoy en día, a bordo de buena parte de las embarcaciones que salen a alta mar.

¿Es útil la información que se presenta en éste artículo?. En principio podría ser útil en una situación en la que nos hemos perdido y, por la razón que sea, no disponemos de GPS. Se acabó la batería del móvil, por ejemplo.

1. Posición del sol y del observador

En el contexto de la tierra la posición de un observador sobre su superficie se puede definir mediante las llamadas coordenadas geográficas, figura 1.1:

• latitud, \(\large \varphi\): se refiere a cuan cerca o lejos estoy, en unidades angulares, del ecuador terrestre. Varía en un rango de \([-90^\circ,90^\circ]\), siendo \(\pm90^\circ\) en los polos y \(0^\circ\) en el ecuador (negativa al sur del mismo).
• longitud, \(\large \lambda\): se refiere a cuan cerca o lejos estoy, en unidades angulares, del meridiano de Greenwich. Varía en un rango de \([-180^\circ,180^\circ]\), siendo \(0^\circ\) en el meridiano de Greenwich y negativa hacia el oeste del mismo.
• altitud: se refiere a cuan cerca o lejos estoy, en metros medidos en dirección ‘vertical’, del nivel medio del mar

si estamos en el mar, obviamente, el tercer valor ya lo tenemos, es 0. Precisamente en alta mar es donde es más relevante saber geolocalizarse, pues allí normalmente no tenemos referencias que nos ayuden. Otros lugares indicados serían un desierto, una selva o una cordillera.

En cuanto a la posición del sol respecto al centro de la tierra, las coordenadas son las mismas para cualquier observador en un instante dado, figura 1.1:

• declinación, \(\large \delta\): ángulo formado por la línea de posición del sol, \(\overline{CGP}\), y el plano del ecuador. Coincide con la latitud del punto subsolar, GP. Varía en el rango \([-23.44^\circ,23.44^\circ]\).
• ángulo horario de Greenwich, \(GHA\): ángulo entre el meridiano del sol, \(\overline{ZGP}\), y el meridiano de Greenwich, \(\overline{ZG}\). Varía en el rango \([0^\circ,360^\circ]\).

La declinación del sol alcanza valores extremos en los solsticios (negativo en el de invierno) y pasa por el valor \(0^\circ\) en los equinocios. En cuanto al ángulo horario de Greenwich, aumenta hacia el oeste desde valores próximos a \(0^\circ\) en puntos cercanos al meridiano de Greenwich y valores próximos a \(360^\circ\) en puntos cercanos y hacia el este de dicho meridiano.

Por último, la posición del sol respecto a un observador en un instante dado, puede definirse mediante dos ángulos:

• ángulo horario local, \(LHA\) ó \(\large h\): ángulo formado entre el meridiano del sol, \(\overline{ZGP}\) y el del observador, , \(\overline{ZO}\). Su rango de valores es \([-180^\circ,180^\circ]\).
• ángulo de elevación del sol sobre el horizonte del observador, \(\large \alpha\): también llamado altitud. Toma valores en el rango \([-90^\circ,90^\circ]\).

Valores negativos del \(LHA\) indican que el sol se está acercando al meridiano y positivos que el sol se está alejando del meridiano. El valor \(0^\circ\) indica que el sol está sobre el meridiano del observador (mediodía verdadero). En cuanto a la altitud, \(\alpha\), es próxima a \(0^\circ\) en el amanecer y en el ocaso, pudiendo alcanzar en determinados momentos del año valores de hasta \(90^\circ\) al mediodía en latitudes intertropicales. Los valores negativos son valores nocturnos, es decir, corresponden a momentos en que el sol está por debajo del horizonte del observador.

Entre los ángulos \(GHA\), \(LHA\) y la longitud geográfica, \(\lambda\), como evidencia el esquema de la figura 1.1, existe la siguiente relación sencilla:

donde \(\lambda\) incluye el signo, de modo que en el caso representado el miembro de la derecha sería una resta de dos números positivos, pues la longitud del observador es negativa en el ejemplo. El valor del ángulo horario de Greenwich, GHA, depende unicamente de la hora UTC y se encuentra tabulado en los almanaques naúticos, como el de la referencia 1. En el ejemplo de la Figura 1.1 los números en juego bien podrían ser, a ‘grosso modo’,

En la figura 1.2 se muestra un esquema, más a pie de tierra, que describe las coordenadas de posición del sol respecto a un observador dado, \(O\). La línea \(HH'\) representa el horizonte y S la dirección del meridiano, el sur, del observador. En el ejemplo mostrado, el ángulo horario, \(h=LHA\), sería positivo, pues el sol queda al oeste del observador. La altitud también es positiva, pues el sol se encuentra por encima del horizonte. En cuanto a la longitud, \(\lambda\), por vonvenio, al estar situado el observador al oeste del meridiano de Greenwich, sería negativa.

Entre las coordenadas de posición del sol respecto a la tierra, \((\delta,GHA)\), y respecto al observador, \((\alpha,h)\), existe una relación relativamente sencilla, no del todo intuitiva a partir del gráfico de la figura 1.1:

que también puede escribirse

y que utilizaremos en los siguientes apartados para estimar nuestras coordenadas geográficas, \((\varphi,\lambda)\).

La filosofía de la geolocalización es: ‘para saber donde uno está es necesario saber donde están los demás’. En este caso ‘los demás’ se refiere a objetos celestes: el sol, la luna, las estrellas. De ahí el nombre elegido habitualmente para referirse a este tipo de geolocalizacion: navegación astronómica o celeste.

2. Estimación de la latitud

La forma más inmediata de estimar nuestra latitud es mirar al sol justo en el momento del verdadero mediodía. Medir entonces su altitud. Un instrumento bastante preciso para esta tarea es el sextante::ref5, utilizado desde hace tiempo en la navegación por mar. Con menor precisión, podemos idear métodos más caseros basados en la medición de la longitud de la sombra de un objeto o en la inclinación de un objeto que hace que su sombra sea mínima, entre otros métodos posibles, ¿se te ocurre algún otro?.

Si observamos justo al mediodía (verdadero), el águlo horario local, h, será cero y eso facilita mucho las cuentas. En tal caso (h=0) la ecuación 1.1 nos queda:

que nos lleva a la expresión final de la latitud en función de la altitud y declinación de un sol observado a mediodía

La declinación solar, \(\delta\), en el momento de la observación, puede estimarse mediante dos métodos

1. (Más preciso) Consultando un almanaque naútico, por ejemplo: Ref 13 o Ref 1
2. Utilizando alguna fórmula empírica de entre las disponibles, por ejemplo, ver Ref 3,

donde \(\delta_M\) es la declinación máxima solar (actualmente 23.44º, en el solsticio de junio), \(N\) el ordinal del día contado desde el 1 de enero (el 10 de febrero sería N=41), \(N_m\) la duración en días de un año promedio (365.24), \(\epsilon\) la excentricidad de la órbita terrestre (actualmente 0.0167), \(h_o\) es la hora de la observación (12 si es al mediodía) y \(h_s\) la diferencia en horas entre el solsticio de invierno del año anterior y el día 22 de diciembre de tal año a las 12.

Para un año n cualquiera: \(\delta_M=23.439 - 0.0000004n\)

Las fechas del solsticio de invierno, Ref 4 para los próxinos años son:

nótese que hay algo menos de 6 horas de diferencia de año en año, reseteándose la cuenta unas 18 horas hacia atrás cada año bisiesto. Para cálculos más precisos de la declinación pueden consultarse las Ref 3 y Ref 11.

[Ejemplo práctico 2.1]
Desde un punto de tu pueblo o ciudad, en mi caso Valladolid, estimar la latitud el día 10 de febrero de 2026 al mediodía. (¡Ojo!, el verdadero mediodía raramente coincide con las 12 locales \(\pm\) corrección gubernamental).

Para realizar la tarea lo primero será hacer una medición lo más precisa posible de la altitud del sol al mediodía, y para esto es necesario que esté despejado y que sepamos valorar cuando el sol ha alcanzado su meridiano, osea, el sur geográfico, osea, su punto de máxima elevación ese día. Supongamos que las condiciones son buenas y medimos, por el procedimiento de la sombra esquematizado en la figura 2.1, o bien con un sextante (más preciso), un angulo de elevación solar

Anotamos también la hora de la observación, por ejemplo, las 13.30 en nuestro caso en Valladolid, es decir, las 12.30 UTC. Después, consultando en las tablas del almanaque naútico para el día [10 de febrero de 2026]https://thenauticalalmanac.com/SunRegular/2026_Sun_only.pdf), vemos que la declinación solar a las 12.30 UTC es

por tanto, de acuerdo con la ecuación 2.3, nuestra latitud estimada sería

La latitud oficial de Valladolid (centro geográfico de la ciudad) es de unos \(41.65^\circ\), con lo cual el error cometido en nuestra estimación, suponiendo que la hemos hecho en el mismísimo centro geográfico de la ciudad, sería de 2 décimas de grado, es decir, 12 minutos de latitud. Este valor, traducido a distancia sobre el terreno, equivale a unos 22 km en dirección sur. El error puede parecer muy grande, dado que estamos acostumbrados a la exactitud del GPS. No obstante, si estuvieramos en un barco en el mar y con buena visibilidad es un error muy asumible, pues la vista que alcanzamos lo suple sobradamente. Si estuvieramos en un desierto amplio, como el del Sahara, por ejemplo, sigue siendo un valor útil, que nos posicionaría en nuestro mapa de papel y nos indicaría la mejor dirección para seguir una ruta hacia un punto habitado, si es el caso.

Veremos en el siguiente apartado que esta estimación es mejorable si hacemos dos mediciones en lugar de una. Por ejemplo, si además de medir la altitud solar hacemos una medición de la altitud de la luna en el mismo momento, caso de que este disponible. O bien si hacemos dos mediciones de la altitud solar en momentos diferentes.

3. Estimación de la longitud

La longitud de un lugar sobre la superficie terrestre, como se definió anteriormente, es la distancia angular respecto al meridiano de Greenwich. Si el punto de observación, O, está al oeste de dicho meridiano, por convenio, se considera negativa. Si al este, positiva. Una primera aproximación al valor de la longitud en nuestro punto de observación puede obteberse si somo capaces de hacer una buena estimación del momento exacto del mediodía (mediodía verdadero, ver Anexo I ). En ese caso, basta aplicar la siguiente ecuación,

donde \(difZ_{noon}\) es la diferencia en minutos entre el mediodía verdadero y el mediodía promedio de nuestra zona horaria, \(\overline{Zm}=12-ZH\), ambos en hora UTC. Es decir, \(difZ_{noon}= Zmv - \overline{Zm}\). Para España \(ZH=0\), para Canarias \(ZH=-1\), para Italia \(ZH=1\), etc. EoT es la ecuación (corrección astronómica) del tiempo, es decir, la diferencia en minutos entre el tiempo solar medio (reloj) y el tiempo solar verdadero (reloj de sol).

EoT puede calcularse, Ref 10, con error inferior a 1 minuto , a partir de la siguiente expresión

donde d es el día del año y, contado desde el 1 de enero . Para cálculos más precisos de la \(EoT\) pueden consultarse las Ref 3 y Ref 11. En la figura 3.1 se representa graficamente la ecuación 3.2 para los años 1826, 2026 y 2226. Esta representación nos permite hacernos una idea de lo pequeña que es la variación interanual, incluso interdecadal, de la Ecuación del tiempo.

[Ejemplo práctico 3.1]

Supongamos que hemos registrado la hora UTC en que tiene lugar el mediodía verdadero del 1 de febrero de 2026 en nuestro punto de observación, de nuevo el centro de Valladolid en nuestro caso. El resultado ha sido las 12 horas y 32 minutos. Aplicando la ecuación 3.1, estimar la longitud de dicho punto de observación.

Calculamos primero la ecuación del tiempo para el día 1 de febrero, día 32, a partir de la ecuación 3.2,

y después llevamos ese valor a la ecuación 3.1

el error cometido en este caso sería \(-4.637-(-4.72)=0.083^\circ\), es decir, unos 4 minutos, es decir, unos 7 km al este del punto de observación.

[Ejemplo práctico 3.2]

Estimación de la longitud. Desde un punto de observación vamos a tomar dos medidas de la altitud solar en dos momentos diferentes del día, en este ejemplo es el día 20 de febrero de 2026 y el lugar es Valladolid. Obtener una estimación de la longitud a partir de las mismas, con la ayuda de las tablas naúticas y la ecuación 1.3.

Hechas las medidas y consultadas las tablas en el almanaque de la Ref 1, obtenemos

donde alt y dec son la altitud y declinación solares \((\alpha,\delta)\). Aplicando la ecuación 1.3 a cada observación obtenemos el siguiente sistema de ecuaciones:

donde se ha tenido en cuenta la ecuación 1.1 para sustituir el ángulo horario local, h en la ecuación original. La solución a este sistema puede obtenerse usando una calculadora científica. En nuestro caso el resultado ha sido

vemos que los errores, tanto en latitud como en longitud, se han reducido: en concreto, el error en latitud en este caso sería de \(41.59-41.65=-0.06^\circ\), que suponen en distancia norte-sur un error de unos 7 km, la tercera parte del error cometido en la estimación del ejemplo 2.1. En cuanto al error en longitud, sería de \(-4.78-(-4.72)=0.06^\circ\), que en el caso de la longitud corresponden a una distancia este-oeste de unos 5 km, que también, en menor grado, mejora el error cometido en la estimación del ejemplo 3.1.

Anexo I: El mediodía verdadero

Si conocemos nuestra longitud, \(\lambda\), el momento del mediodía verdadero puede calcularse a partir de la ecuación 3.1, sin más que despejar el término \(difZ_{noon}\) (diferencia minutal entre el mediodía promedio y el verdadero) y sumar dicha corrección al valor del mediodía promedio, \(12-ZH\) en la zona horaria \(ZH\) (ver apartado 3),

así obtendremos la hora Z (UTC) del mediodía verdadero. Si queremos el resultado en hora local habrá que añadir al valor calculado, \(Z_{mv}\), la corrección gubernamental vigente.

Si no conocemos nuestra longitud, \(\lambda\), el momento del mediodía verdadero puede estimarse a partir del momento del amanecer o salida del sol, más fácil de apreciar a simple vista si estamos en terreno llano o con amplio horizonte visual. Al contrario que muchas otras medidas de parámetros solares, la salida del sol ocurre cuando su limbo superior, no su centro, toca el horizonte. En dicho momento el ángulo de elevación solar no es cero exactamente, debido al efecto de la refracción de los rayos de luz al atravesar la atmósfera. Aunque su valor depende en parte de las condiciones meteorológicas, que influyen en el índice de refracción del aire, un valor promedio bastante aceptado, Ref 1, es \(\alpha\simeq -0.83^{\circ}\). LLevando este valor a la ecuación 1.2, y despejando h, obtenemos

donde \(h_{\small AMA}\) es el ángulo horario del sol al amanecer. Si llamamos \(Z_{\small AMA}\) a la parte minutal de la hora Z del amanecer,

obtenemos así la parte minutal del mediodía verdadero, lo que llamamos \(difZ_{noon}\) en el apartado 3. Dado que los errores en el cálculo del ángulo horario son menores cuanto más cerca estemos del amanecer o del ocaso (cuanto más lejos del mediodía), este método presenta un error teóricamente mínimo, siempre que la estimación del momento del amanecer sea precisa. De igual modo se podría haber aplicado (restando en lugar de sumando) a partir de una observación del momento del ocaso.

de manera más o menos precisa a partir de la variación de la lonfitud de la sombra de un objeto de extensión vertical \(l\). De acuerdo con la figura 2.1 la longitud de la sombra de tal objeto vendrá dada por la expresión

derivando esta expresión respecto al tiempo obtendremos la velocidad de variación de la longitud de la sombra:

donde \(v_s=\frac{dx_s}{dt}\) es la velocidad de la sombra en unidades convenientes (ej. mm/min, si l se expresa en mm) y \(\frac{dh}{dt}=15^{\circ}/hora=0.25^\circ/min\) es la velocidad de variación del ángulo horario, constante a lo largo del día, pues equivale a la velocidad angular de rotación de la tierra.

Referencias

[1] The Nautical Almanac, https://thenauticalalmanac.com/

[2] Editor de ecuaciones en línea, https://latexeditor.lagrida.com/

[3] Position of the sun (wikipedia), https://en.wikipedia.org/wiki/Position_of_the_Sun#Calculations

[4] Solsticio (wikipedia), https://es.wikipedia.org/wiki/Solsticio

[5] Sextante (wikipedia), https://es.wikipedia.org/wiki/Sextante

[6] Navegación astronómica o celeste, (wikipedia), https://en.wikipedia.org/wiki/Celestial_navigation

[7] Tablas de parámetros solares por fecha y lugar, https://salidaypuestadelsol.com/sun

[8] Kepler. Grupo docente de astronomía, Fuenlabrada, https://curso.auladeastronomiadefuenlabrada.com/tema-7-relojes-de-sol/7-9-ecuacion-de-tiempo/

[9] Calculadora de la ecuación del tiempo, https://planetcalc.com/9198/

[10] Equation_of_time, https://en.wikipedia.org/wiki/Equation_of_time

[11] Solar position calculations, https://gml.noaa.gov/grad/solcalc/solareqns.PDF

[12] Ecuación del tiempo, https://academia-lab.com/enciclopedia/ecuacion-de-tiempo/F

[13] Long-term almanac for sun, moon, and polaris, v1.12, https://www.celnav.de/longterm.htm

[14] Sunrise, https://en.wikipedia.org/wiki/Sunrise#Angle_with_respect_to_horizon

Corren, voan, veñen, van
polos eídos do portal
Neno-néboas
Neno-estrelas
e tamén os paspallás.

No Nadaaaaaal …

¡Ay no Nadal! ^(x2_subindo)
o Neno xoga a espantar
os paspallás ^(x2_subindo)
e-as estrelas de néboa
que roldan
fora-o-portal. ^(x2_subindo)

San Xoseeeeeé
chámao e chámao, ^(x2_subindo)
A Virxe
déixao folgar, ^(x2_subindo)
E-os-Anxos do tellado
cantanlle-e
tocan campás. ^(x2_subindo)

Dade oooooou-
tra-volta-estreliñas,
¡dade unha mais!, ^(x2_subindo)
cata as douradas, rapaz,
¡cátaas, rapaz!, ^(x2_subindo)
coida que as ben feitiñas,
de-Belén
te levarán. _{(x2_baixando_amodo)}

Corren, voan, veñen, van
polos eídos do portal
Neno-néboas
Neno-estrelas
e tamén os paspallás.

Audio da panxoliña

_{Ferramentas utilizadas:
Github, StackEdit
Grabadora básica de Android}

En caso de que queramos incluir notación matemática en nuestro blog, como es el caso, debemos utilizar algún recurso externo que nos lo permita: mathjax o katex son dos buenas opciones. Para hacer uso de mathjax debemos incluir una directiva de javascript al final del fichero de layout al que queremos que se aplique. Estos ficheros se encuentran en el subdirectorio _layouts de nuestro sitio web. Uno de estos ficheros es ‘posts.html’, donde se configura el layout de los posts, al final del cual añadiremos la directiva o líneas de código siguientes:

<!-- Mathjax Support -->
<script type="text/javascript" async
  src="https://cdn.mathjax.org/mathjax/latest/MathJax.js?config=TeX-MML-AM_CHTML">
</script>

Una vez hecho esto, el navegador será capaz de interpretar la notación matemática y podremos escribir las siguientes líneas, por ejemplo,

Para que nuestro sitio web funcione como un blog, Jekyll requiere que los ficheros de post sean nombrados de acuerdo al siguiente formato:

AÑO-MES-DIA-TITULO.MD

Donde AÑO es un número de 4 dígitos, y MES y DIA son números de 2 dígitos, y MD es la extensión que representa el formato usado en el fichero.

Jekyll también ofrece soporte para snippets de código:

def print_hola(nombre)
  puts "Hola, #{nombre}"
end
print_hola('Moncho')
#=> imprime 'Hola, Moncho' en STDOUT.

bundle exec jekyll serve
#=> inicializa y/o actualiza el sitio web después de cambios

Para más información chequea la web principal del proyecto jekyll.